$\{x_n\}_{n \geq 1}$가 코시 수열일 때 $\sum_{k \geq 1} |x_{n_k} – x_{n_{k+1}} | < \infty$를 만족하는 부분 수열 $x_{n_k}$가 존재한다.

우선, 코시 수열의 정의에 따라서 수열 $x_k$ 는 다음을 만족한다.
$$ \begin{align} \forall \epsilon > 0, \exists N > 0 s.t. n, m > N \Rightarrow |x_n – x_m| < \epsilon \end{align} $$
따라서, $\epsilon_1 := 2^{-1}$ 일 때 다음을 만족하는 $N_1 > 0$ 이 존재한다: $ \forall n,m > 0 $
$$\begin{align} n, m > N_1 \Rightarrow |x_n – x_m| < \epsilon_1 \end{align} $$
비슷하게 $\epsilon_2 := 2^{-2}$ 로 두면 다음을 만족하는 $N_2 > 0$ 이 존재한다: $ \forall n,m > 0 $
$$ \begin{align} n, m > N_2 \Rightarrow |x_n – x_m| < \epsilon_2 \end{align} $$
참고로, $N_2 := \max\{N_1, N_2\}$ 로 두어도 위 식은 만족한다. 재귀적으로 $\epsilon_k := 2^{-k}$ 로 두고 $N_{k-1}$ 보다 큰 $N_k$ 를 고른다. 그러면 $ \forall n,m > 0 $
$$ \begin{align} n, m > N_k \Rightarrow |x_n – x_m| < \epsilon_k \end{align} $$
이러한 방법으로 부분 수열을 정의한다. $x_{n_1} := x_{N_1}$ 로 두고 재귀적으로 $x_{n_k} := x_{N_k}$ 로 설정한다. 이렇게 정의한 부분 수열은 주어진 등식을 만족한다.
$$ \begin{align} \sum_{k \geq 1} |x_{n_k} – x_{n_{k+1}} | \leq \sum_{k \geq 1} 2^{-k} = 1 < \infty \end{align} $$

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